2次函数的所有公式在数学中，二次函数（也称为二次方程）是一种非常重要的函数形式，广泛应用于物理、工程、经济等多个领域。它的一般形式为：
$$ y = ax^2 + bx + c $$
其中，$ a $、$ b $、$ c $ 是常数，且 $ a \neq 0 $。
为了更好地领会和应用二次函数，掌握其相关公式至关重要。下面内容是对二次函数所有重要公式的划重点，包括定义、图像、根的求解、顶点计算等。
一、基本概念与公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 一般形式 | $ y = ax^2 + bx + c $ | $ a \neq 0 $ |
| 标准形式 | $ y = a(x – h)^2 + k $ | 顶点为 $ (h, k) $ |
| 因式分解形式 | $ y = a(x – x_1)(x – x_2) $ | $ x_1 $、$ x_2 $ 为根 |
| 判别式 | $ D = b^2 – 4ac $ | 判断根的性质 |
| 求根公式 | $ x = \frac-b \pm \sqrtb^2 – 4ac}}2a} $ | 解二次方程 |
| 顶点横坐标 | $ x = -\fracb}2a} $ | 抛物线对称轴 |
| 顶点纵坐标 | $ y = f(-\fracb}2a}) $ | 代入后得到顶点纵坐标 |
| 对称轴 | $ x = -\fracb}2a} $ | 抛物线对称轴方程 |
二、图像特征与性质
| 特征 | 说明 |
| 开口路线 | 当 $ a > 0 $ 时，开口向上；当 $ a < 0 $ 时，开口向下 |
| 顶点 | 顶点为抛物线的最高点或最低点 |
| 与y轴交点 | 令 $ x = 0 $，得 $ y = c $ |
| 与x轴交点 | 即方程的根，由判别式决定是否有实根 |
| 最值 | 当 $ a > 0 $ 时，顶点为最小值；当 $ a < 0 $ 时，顶点为最大值 |
三、根的相关公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 根与系数关系（韦达定理） | $ x_1 + x_2 = -\fracb}a} $ $ x_1 \cdot x_2 = \fracc}a} $ |
根的和与积 |
| 根的判别 | $ D = b^2 – 4ac $ | $ D > 0 $：两个不同实根 $ D = 0 $：一个实根（重根） $ D < 0 $：无实根（两个共轭复根） |
四、其他常见应用公式
| 应用场景 | 公式表达 | 说明 |
| 抛物线焦点 | $ \left( h, k + \frac1}4a} \right) $ | 标准形式下的焦点坐标 |
| 函数增减性 | 当 $ a > 0 $，在 $ x < -\fracb}2a} $ 时递减，在 $ x > -\fracb}2a} $ 时递增 当 $ a < 0 $，情况相反 |
描述函数单调性 |
| 图像平移 | 若原函数为 $ y = ax^2 $，则向右平移 $ h $，向上平移 $ k $ 得 $ y = a(x – h)^2 + k $ | 常用于变换图像 |
五、
二次函数是初中到高中数学中的重点内容，掌握其基本公式和图像特征对于解决实际难题具有重要意义。怎么样？经过上面的分析表格可以快速回顾和领会二次函数的各种公式及其应用场景。建议在进修经过中多做练习题，结合图像加深领会，从而提升解题能力。
